Критерий Келли: расчёт размера ставки
Критерий Келли — это математическая формула, которая рассчитывает долю банка для ставки, исходя из вашей оценки вероятности исхода и коэффициента букмекера. Формула: f = (b·p − q) / b, где b — это коэффициент минус единица, p — ваша оценка вероятности, q = 1 − p. Ключевая оговорка: Келли работает только при наличии реального перевеса, а точность зависит от вашей субъективной оценки вероятности, которая может быть завышена. Метод управляет размером ставки, но не создаёт прибыль и не обыгрывает маржу букмекера.
Короткие ответы про критерий Келли
Критерий Келли 1956 года сводится к одной формуле и 4 практическим выводам, которые собраны ниже в виде коротких ответов.
- Что такое критерий Келли? Формула доли банка для одной ставки: f = (b·p − q) / b, где b — коэффициент минус 1, p — ваша оценка вероятности, q = 1 − p.
- Как посчитать по десятичному коэффициенту k? По формуле f = (k·p − 1) / (k − 1); при k = 2,00 и p = 55% получается 10% банка (наш расчёт).
- Зачем брать половину или четверть? Это снижает колебания и страхует от ошибки оценки, но замедляет рост (Wikipedia, «Kelly criterion», проверено 09.10.2026).
- Что будет при ставке вдвое больше Келли? Рост исчезает: при коэффициенте 2,00 и p = 55% двойной Келли даёт −0,014% на ставку (наш расчёт).
Что такое критерий Келли и откуда он взялся
Критерий Келли предложил в 1956 году учёный Джон Келли, физик и сотрудник Bell Labs, опираясь на теорию информации Клода Шеннона; позже формулу адаптировали для управления капиталом (Wikipedia, «John Larry Kelly Jr.», проверено 09.10.2026). Идея в том, чтобы ставить не фиксированную сумму, а долю банка, пропорциональную математическому преимуществу над букмекером.
Формула для одиночной ставки выглядит так:
f = (b · p − q) / b
- f — доля банка, которую предлагается поставить;
- b — чистый выигрыш на единицу ставки, то есть коэффициент минус 1 (при коэффициенте 2.00 значение b = 1);
- p — ваша оценка вероятности выигрыша (от 0 до 1);
- q — вероятность проигрыша, q = 1 − p.
Если формула даёт отрицательное число, ставки нет: по вашей же оценке ценности в ней не заложено. Чтобы понять, откуда берётся вероятность и как коэффициент связан с ней, полезно разобрать чтение коэффициентов и маржу букмекера.
Как вывести формулу Келли шаг за шагом
Формула f = (b·p − q) / b получается из требования максимизировать средний логарифм роста банка g(f) = p·ln(1 + b·f) + q·ln(1 − f), где f — доля банка в ставке (наш вывод).
Логарифм берут потому, что банк растёт умножением. Эдвард Торп в обзоре 1997 года описывает критерий именно как максимизацию ожидаемого логарифма капитала (Thorp, доклад на 10-й конференции Gambling and Risk Taking, проверено 09.10.2026).
- Выигрыш с вероятностью p умножает банк на 1 + b·f, проигрыш с вероятностью q — на 1 − f.
- Максимум g(f) достигается там, где производная равна нулю: p·b / (1 + b·f) − q / (1 − f) = 0.
- Общий знаменатель даёт p·b·(1 − f) = q·(1 + b·f), то есть p·b − p·b·f = q + q·b·f.
- Переносим слагаемые с f и учитываем p + q = 1: p·b − q = b·f, откуда f = (b·p − q) / b.
Для практики удобны две записи (наш вывод). Через десятичный коэффициент k = b + 1: f = (k·p − 1) / (k − 1). Через перевес e = k·p − 1, то есть ожидаемую прибыль на 1 ₽ ставки: f = e / b. Авторы MacLean, Thorp и Ziemba формулируют то же словами: оптимальная ставка равна перевесу, делённому на выплату (препринт от 1 января 2010 года, проверено 09.10.2026).
| Коэффициент k | Оценка p | Перевес e = k·p − 1 | Доля f = e / (k − 1) |
|---|---|---|---|
| 2,50 | 45% | 0,125 | 8,3% |
| 1,90 | 56% | 0,064 | 7,1% |
| 1,50 | 60% | −0,10 | −20% (не ставить) |
Как считать: три примера с банком 10 000 ₽
Возьмём условный банк 10 000 ₽. Во всех примерах вероятность p — это ваша субъективная оценка, а не факт. Келли задаёт долю банка, а сумма в рублях — производная от неё: при том же проценте, но другом банке ставка в рублях изменится.
Пример 1. Коэффициент на фаворита 2.00, значит b = 1.00. Вы оцениваете вероятность победы в 55% (p = 0.55, q = 0.45). Тогда f = (1·0.55 − 0.45) / 1 = 0.10. Полный Келли предлагает 10% банка — при банке 10 000 ₽ это ставка 1000 ₽.
Пример 2. Коэффициент 3.00, b = 2.00. Ваша оценка вероятности — 40% (p = 0.40, q = 0.60). f = (2·0.40 − 0.60) / 2 = (0.80 − 0.60) / 2 = 0.10. Снова 10% банка, то есть та же ставка 1000 ₽, хотя коэффициент выше: абсолютная сумма зависит от доли, а не от величины коэффициента.
Пример 3. Коэффициент 2.00, b = 1.00. Вы считаете вероятность равной 60% (p = 0.60, q = 0.40). f = (1·0.60 − 0.40) / 1 = 0.20. Полный Келли предлагает 20% банка, то есть 2000 ₽ — но можно взять половинный Келли и поставить те же 1000 ₽ (почему так — в следующем разделе).
А теперь встречный случай: при коэффициенте 1.50 (b = 0.50) и вашей оценке 60% f = (0.50·0.60 − 0.40) / 0.50 = (0.30 − 0.40) / 0.50 = −0.20. Значение отрицательное — Келли говорит не ставить: по вашей оценке коэффициент не покрывает риск. По мере роста или падения банка та же доля даёт другую сумму в рублях, поэтому ставку пересчитывают перед каждым пари.
Порог ценности: при какой оценке ставка имеет смысл (наш расчёт)
По формуле Келли доля банка положительна только тогда, когда коэффициент выше 1/p: при вашей оценке 55% порог равен 1/0,55 ≈ 1,82 (наш расчёт). Ниже порога f отрицательна, и ставку не делаем.
| Коэффициент | b (чистый выигрыш) | f по формуле Келли | Решение |
|---|---|---|---|
| 1,50 | 0,50 | −35,0% | Не ставить |
| 1,80 | 0,80 | −1,25% | Не ставить: чуть ниже порога |
| 2,00 | 1,00 | 10,0% | Полный Келли 10%, половина 5% |
| 2,20 | 1,20 | 17,5% | Полный 17,5%, половина 8,75% |
| 2,50 | 1,50 | 25,0% | Полный 25%, половина 12,5% |
| 3,00 | 2,00 | 32,5% | Полный 32,5%, половина 16,25% |
Из таблицы видно, что при одной и той же оценке 55% более высокий коэффициент даёт большую долю банка. Поэтому оценка вероятности важнее самого коэффициента: ошибка в p сдвигает весь столбец. Полный Келли на коэффициенте 3,00 — это почти треть банка, и при ошибке в оценке такая доля окажется слишком большой.
Дробный Келли и почему полный опасен
Полный Келли максимизирует темп роста банка только при абсолютно точных вероятностях. В реальности оценка p всегда с ошибкой, поэтому полный Келли при ошибке в p может давать слишком большую ставку и резкие просадки. Для снижения риска применяют дробный Келли — половину или четверть от расчётной доли.
| Вариант | Доля банка | Ставка, ₽ | Поведение |
|---|---|---|---|
| Полный Келли | 20% | 2000 | Максимальный рост, но глубокие просадки |
| Половинный (½) | 10% | 1000 | Заметно мягче колебания банка |
| Четвертной (¼) | 5% | 500 | Медленный рост, минимальная волатильность |
Половинный Келли сохраняет около трёх четвертей темпа роста (см. таблицу о росте банка) при меньших колебаниях банка — поэтому его можно выбрать вместо полного. Именно так ставка из примера 3 (полный Келли 2000 ₽) превращается в осторожные 1000 ₽. Управление размером ставки тесно связано с банкролл-менеджментом и лимитами.
Что показывают исследования о половинном и четвертном Келли
MacLean, Thorp и Ziemba в препринте от 1 января 2010 года называют главным недостатком Келли величину ставок: они могут быть очень крупными, поэтому метод рискован на коротких отрезках (проверено 09.10.2026).
Авторы приводят таблицу для игры с p = 0,51 и q = 0,49 (данные MacLean и Ziemba, 1999): чем меньше доля от Келли, тем выше шанс удвоить банк раньше, чем потерять половину, но тем медленнее рост.
| Доля от Келли | Шанс удвоить раньше, чем потерять половину | Темп роста относительно полного Келли |
|---|---|---|
| 0,5 | 0,89 | 0,75 |
| 1,0 (полный) | 0,67 | 1,00 |
| 2,0 | 0,50 | 0,00 |
Читать таблицу нужно осторожно: в источнике это блэкджек с преимуществом 2%, а не спортивные ставки, поэтому цифры показывают форму компромисса, а не вашу ситуацию. Наш вывод: половинный Келли отдаёт четверть темпа роста, но заметно повышает шанс избежать просадки в 50%; ставка вдвое больше Келли роста не даёт вовсе.
Рост банка при разной доле ставки
Условия нашего расчёта: коэффициент 2,00, вероятность выигрыша 55%, по формуле Келли доля банка f = (b × p − q) / b = (1 × 0,55 − 0,45) / 1 = 10%.
| Доля банка в ставке | Что это | Рост на ставку |
|---|---|---|
| 2,5% | четверть Келли | +0,219% |
| 5% | половина Келли | +0,375% |
| 10% | полный Келли | +0,501% |
| 15% | полтора Келли | +0,374% |
| 20% | двойной Келли | −0,014% |
Половина Келли даёт около 75% роста при вдвое меньшей ставке, а двойной Келли уже не растёт: перебор доли превращает перевес в нуль. Формула g(f) = p × ln(1 + b × f) + q × ln(1 − f).
Сколько проигрышей подряд выдержит доля по Келли
При полном Келли 10% банка серия из 7 проигрышей подряд оставляет 47,8% банка. При четверти Келли (2,5%) банк теряет половину лишь после 28 проигрышей подряд (наш расчёт при p = 55% и коэффициенте 2,00).
| Вариант | Доля банка | Остаток после 5 проигрышей | После 10 | Проигрышей до потери половины |
|---|---|---|---|---|
| Четверть Келли | 2,5% | 88,1% | 77,6% | 28 |
| Половина Келли | 5% | 77,4% | 59,9% | 14 |
| Полный Келли | 10% | 59,0% | 34,9% | 7 |
| Двойной Келли | 20% | 32,8% | 10,7% | 4 |
После 7 проигрышей при полном Келли остаётся менее половины банка, а на дистанции в сотни ставок такая серия — рядовое событие. Стоп-лоссы и журнал разбирает материал о банкролл-менеджменте.
Если вероятность оценена неверно
Ошибка в p всего на 3 процентных пункта делает ставку по формуле Келли убыточной: главная слабость критерия — зависимость от оценки вероятности.
| Реальная вероятность | Рост на ставку при 10% банка | Рост при 5% банка |
|---|---|---|
| 55% | +0,501% | +0,375% |
| 52% | −0,101% | +0,075% |
| 50% | −0,503% | −0,125% |
Ошибка в 3 процентных пункта превращает «оптимальную» ставку в убыточную: при 52% половина Келли ещё в плюсе, а при 50% уже в минусе (−0,125% на ставку, наш расчёт). Поэтому для практики советуют дробный Келли и консервативную оценку p.
Таблица ниже продолжает расчёт для коэффициента 2,00 (наш расчёт): чем завышеннее оценка и крупнее доля, тем быстрее минус.
| Ваша оценка | Вариант | Доля банка | Реально 55% | Реально 52% | Реально 50% |
|---|---|---|---|---|---|
| 58% | Полный | 16% | +0,317% | −0,651% | −1,297% |
| 60% | Полный | 20% | −0,014% | −1,230% | −2,041% |
| 60% | Четверть | 5% | +0,375% | +0,075% | −0,125% |
Наш вывод: при оценке 60% и реальных 52% полный Келли теряет 1,23% банка на ставку, а четверть Келли остаётся в плюсе. Это не гарантия: при реальных 50% минус есть у любого варианта, потому что перевеса нет вообще.
Почему оценка вероятности — слабое место на практике
При коэффициенте 2,00 формула сводится к f = 2·p − 1, поэтому ошибка p в 1 процентный пункт даёт ошибку в 2 пункта в доле банка, а при коротких коэффициентах — ещё больше (наш расчёт).
| Коэффициент k | Множитель | Завышение p на 3 п.п. меняет f на |
|---|---|---|
| 1,50 | 3,00 | 9,0 п.п. |
| 2,00 | 2,00 | 6,0 п.п. |
| 3,00 | 1,50 | 4,5 п.п. |
Получить точное p трудно по трём причинам (наш вывод). Первая: коэффициент для этого не годится, потому что содержит маржу. Условный пример: коэффициенты 1,90 на оба исхода дают 1 ÷ 1,90 ≈ 52,6% каждому, в сумме 105,3%; ставка получает положительную долю лишь при вашей оценке выше 52,6%. Вторая: своя история ставок мало информативна. При доле выигрышей 55% 95-процентный доверительный интервал оценки равен примерно ±9,8 п.п. по 100 ставкам, ±4,9 по 400, ±3,1 по 1000 и ±2,0 по 2500 (наш расчёт, нормальное приближение). Третья: условия меняются от матча к матчу.
Wikipedia и MacLean, Thorp, Ziemba сходятся: критерий требует точных вероятностей, при завышении оценки риск разорения растёт, а ставки стоит уменьшать. Совет редакции: оценивать p консервативно. Занижение на 3 пункта при реальных 55% снижает рост с 0,501% до 0,320% на ставку, а при реальных 52% ставка 4% даёт +0,080% вместо −0,101% (наш расчёт).
Налог и маржа в формуле
Формула Келли предполагает честный коэффициент, тогда как реальный включает маржу, а налог по ставке 13% считается с чистого выигрыша. Налоговая база — чистый выигрыш: выигрыш минус ставка (ст. 214.7 НК РФ), а ставка налога 13% — для дохода до 2,4 млн рублей за год (ст. 224 НК РФ; при более высоких доходах шкала выше).
При ставке 13% выплата с налогом при коэффициенте k равна 1 + 0,87 × (k − 1) от ставки: при k = 2,00 это 1,87 вместо 2,00. Подставляйте в b чистую прибыль после налога (0,87 × (k − 1)), иначе формула завысит ставку. Смотрите также какие коэффициенты проходят чаще.
Типичные ошибки
- Завышенная оценка вероятности в БК. Главная ошибка. Если вы систематически переоцениваете p хотя бы на несколько процентов, Келли превращается из защиты в ускоритель потерь.
- Применение полного Келли. На неточных вероятностях полный Келли может оказаться слишком агрессивным.
- Использование коэффициента вместо своей вероятности. В формулу подставляют p из коэффициента букмекера — но там уже заложена маржа, и преимущества не возникает по определению.
- Игнорирование пересчёта банка. Ставить фиксированную сумму вместо доли — значит отказаться от сути метода.
- Ставки без реального перевеса. Келли не создаёт ценность. Нет обоснованного перевеса — нет и корректной ставки.
Неочевидные случаи
Препринт MacLean, Thorp и Ziemba приводит пример: 700 ставок с преимуществом 14% и шансом выигрыша не ниже 19% при полном Келли могут превратить $1000 в $18, хотя в 16,6% случаев дают от $100 000.
- Равное число побед и поражений оставляет в минусе. Для фиксированной доли и ровных ставок после n побед и n поражений банк равен W₀ × (1 − f²)ⁿ (MacLean, Thorp, Ziemba). При f = 10% и 10 парах это 0,99¹⁰ ≈ 0,904, то есть минус 9,6% банка (наш расчёт).
- Экспресс. Вероятность экспресса равна произведению оценок, поэтому ошибка растёт: три исхода по 55% дают 0,55³ ≈ 16,6%, а при реальных 52% — 0,52³ ≈ 14,1%, завышение в 1,18 раза (наш расчёт).
Что проверить перед использованием Келли
7 пунктов помогают отсеять расчёты, которые выглядят точными, но держатся на случайной оценке (совет редакции).
- Вероятность p получена не из коэффициента и записана до расчёта.
- Оценка опирается на сотни однотипных ставок: по 100 погрешность около ±9,8 п.п.
- Доля f положительна; при f ≤ 0 ставка пропускается.
- Взята половина или четверть расчётной доли, а не полная.
- В b подставлена чистая прибыль после налога, как в разделе о налоге и марже.
- Сумма долей открытых ставок не превышает заданного потолка.
- Настроены лимиты: по данным 1cupis.ru/rg (проверено 09.10.2026) в Кошельке ЦУПИС можно задать лимит на одну операцию и на сумму операций за день, неделю или месяц.
Честно о рисках
Критерий Келли — это инструмент управления размером ставки, а не способ выигрывать. Он не отменяет маржу букмекера и в долгую не превращает игру с отрицательным математическим ожиданием в прибыльную. Если вашего перевеса нет или он мнимый, любая формула лишь распределяет неизбежные потери.
Даже при корректном применении дробного Келли просадки банка возможны, а завышенная самооценка вероятностей — одна из главных причин, по которым метод работает против игрока. Относитесь к ставкам как к расходу на развлечение, а не как к источнику дохода. Установите бюджет заранее, применяйте лимиты и при первых признаках потери контроля используйте инструменты ответственной игры, включая самозапрет через Госуслуги.
Материал справочный, не является призывом к участию в азартных играх. 18+. Участие в азартных играх может привести к игровой зависимости. Подробнее о самоконтроле — в разделе «Ответственная игра».
Частые вопросы
Гарантирует ли критерий Келли прибыль?
Нет. Келли рассчитывает только размер ставки при заданном перевесе. Если реального перевеса нет или ваша оценка вероятности завышена, метод не создаёт прибыль и не обыгрывает маржу букмекера в долгосрочной перспективе.
Почему рекомендуют дробный Келли, а не полный?
Полный Келли оптимален только при абсолютно точных вероятностях. Поскольку в реальности оценки всегда с ошибкой, полный Келли завышает ставку и даёт глубокие просадки. Половинный или четвертной Келли сохраняют большую часть роста при меньшем риске.
Что подставлять в формулу вместо вероятности p?
p — это ваша собственная обоснованная оценка вероятности исхода. Нельзя брать вероятность из коэффициента букмекера: в нём уже заложена маржа, поэтому преимущества там по определению нет.
Что делать, если формула даёт отрицательное число?
Отрицательное f означает, что по вашей же оценке ставка не имеет ценности — коэффициент не покрывает риск. В этом случае ставку делать не следует.
Подходит ли Келли новичку?
Метод требует навыка честной оценки вероятностей, которого у новичка может не быть. Начинать разумнее с базового банкролл-менеджмента и фиксированной небольшой доли банка, а не с Келли.
Что будет, если вероятность в формуле Келли оценена неверно?
Ставка может стать убыточной: при оценке 55% и реальной вероятности 52% ставка 10% банка даёт −0,101% на ставку, а 5% банка — +0,075% (наш расчёт).
Нужно ли учитывать налог в формуле Келли?
Да: налог удерживается с чистого выигрыша (ст. 214.7 НК РФ). При ставке 13% в формуле стоит использовать чистую прибыль после налога 0,87 × (k − 1); ставка по ст. 224 НК РФ зависит от совокупного дохода за год.
Как посчитать критерий Келли по десятичному коэффициенту?
Используйте f = (k·p − 1) / (k − 1), где k — десятичный коэффициент, p — ваша оценка вероятности. При k = 2,00 и p = 55% получится 10% банка (наш расчёт). Формула равна (b·p − q) / b при b = k − 1.
Что лучше — половинный или четвертной Келли?
Однозначного ответа нет: чем менее надёжна оценка p, тем меньшую долю разумно брать. В нашем расчёте при оценке 55% и реальных 52% половинный Келли даёт +0,075% на ставку, четвертной +0,069%; при реальных 50% — −0,125% и −0,031% соответственно.
Источники · проверено 09.10.2026
- J. L. Kelly Jr. «A New Interpretation of Information Rate», Bell System Technical Journal, т. 35, № 4, июль 1956, с. 917–926 (DOI 10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x) — первоисточник критерия: доля капитала, максимизирующая экспоненциальный рост
- НК РФ, ст. 214.7, п. 1 (КонсультантПлюс)
- Kelly criterion (Википедия, англ.): при полном проигрыше ставки f = p/l − q/g совпадает с (bp − q)/b; полный Келли требует известных вероятностей; дробный Келли снижает волатильность и риск разорения; проверено 08.10.2026 и 09.10.2026
- НК РФ, ст. 224, п. 1: шкала 13% до 2,4 млн рублей за налоговый период, далее 15–22% по совокупному доходу налогового резидента (текст на zakonrf.info); проверено 08.10.2026
- MacLean L., Thorp E., Ziemba W. Good and bad properties of the Kelly criterion (препринт, 1 января 2010; позже опубликован в Quantitative Finance): таблица долей Келли, пример на 700 ставок, чувствительность к ошибкам оценок; проверено 09.10.2026 — таблица доли Келли относится к блэкджеку с p = 0,51, а не к спортивным ставкам
- Thorp E. O. The Kelly criterion in blackjack, sports betting, and the stock market (доклад, 10th International Conference on Gambling and Risk Taking, 1997): критерий как максимизация ожидаемого логарифма капитала; проверено 09.10.2026 — использована только формулировка из аннотации
- John Larry Kelly Jr. (Википедия, англ.): американский учёный, PhD по физике 1953, сотрудник Bell Labs, статья 1956 года опиралась на работы Шеннона; проверено 09.10.2026
- ЕЦУПИС: страница «Ответственная игра» — лимит на одну операцию и на сумму операций за день, неделю, месяц; проверено 09.10.2026 — даты на странице нет